Page 15 고등학교 실용 수학 교과서 브로슈어
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C r e a tive MAS S
씨마스 교사용 지도서 미리보기
분 분양 아파트 부근에는 여러 가지 그림들이 그려져 있다. 그중 조감도양 아파트 부근에는 여러 가지 그림들이 그려져 있다. 그중 조감도((鳥瞰圖鳥瞰圖))는 는
공간공간 는 는 물체를 눈의 위치에서 보이는 대로 그린 그림으로 사진과 같이 원근감이 잘 물체를 눈의 위치에서 보이는 대로 그린 그림으로 사진과 같이 원근감이 잘 다음 각뿔대를 보고, 빈칸을 채워라.음 각뿔대를 보고, 빈칸을 채워라. 단원 도입으로 준비하기
새가 하늘에서 내려다보듯 위에서 내려다본 상태의 그림이다. 조감도는 실제 모가 하늘에서 내려다보듯 위에서 내려다본 상태의 그림이다. 조감도는 실제 모
새
양으로 축소하여 그렸기 때문에 아파트 단지를 한눈에 알아보기가 쉽다. 투시도으로 축소하여 그렸기 때문에 아파트 단지를 한눈에 알아보기가 쉽다. 투시도
양
나
나타나 있다. 아파트 내부 구조는 위에서 본 평면도가 중요한 역할을 하게 된타나 있다. 아파트 내부 구조는 위에서 본 평면도가 중요한 역할을 하게 된
다
다. 이와 같이 분양 아파트의 여러 그림처럼 같은 사물이라도 바라보는 시점에 . 이와 같이 분양 아파트의 여러 그림처럼 같은 사물이라도 바라보는 시점에
다
따
따라 다르게 보이게 되므로 그 용도에 따라 그림의 역활이 다르게 된다.라 다르게 보이게 되므로 그 용도에 따라 그림의 역활이 다르게 된다.
입체도형도형
입체
오각형
밑면 밑면의 모양의 모양 사 사각형각형 오각형
사
01 도형의 관찰도형의 관찰 02 도형의 표현도형의 표현 옆면 옆면의 모양의 모양 사다리꼴다리꼴 사다리꼴다리꼴
사
01
02
면의 개수 개수 6 6개개 7 7개개
면의
보충 설명 • 대단원을 개괄적으로 알 수 있는 단원 개관
각뿔
각뿔을 밑면에 평행을 밑면에 평행 각뿔 밑면
한 한 평면으로 잘라서 평면으로 잘라서 옆면
생 생기는 두 입체도형 기는 두 입체도형 각뿔대 높이 을 뒷받침 할 수 있는 구제적인 내용을 실생
중 중에서 각뿔이 아닌 에서 각뿔이 아닌
단원 개관단원 개관 미술가들은 점, 선, 면, 황금 비율, 기하학적 무늬 등 수학에서 다루는 다양한 미술가들은 점, 선, 면, 황금 비율, 기하학적 무늬 등 수학에서 다루는 다양한 쪽 쪽을 각뿔대라고 한을 각뿔대라고 한 밑면
다
다. 각뿔대는 그 밑면의 모양에 따라 삼각뿔대, 사각뿔대, 오각. 각뿔대는 그 밑면의 모양에 따라 삼각뿔대, 사각뿔대, 오각
뿔대
개념과 원리를 작품에 활용하였다. 이 단원에서는 여러 가지 수학적 요소와 개념과 원리를 작품에 활용하였다. 이 단원에서는 여러 가지 수학적 요소와 뿔대 … 라고 한다. … 라고 한다. 활에 가까운 내용으로 추가하여 제시
원리를 활용한 미술 작품을 찾아보고, 미술 작품 속에 담긴 수학의 의미를 알원리를 활용한 미술 작품을 찾아보고, 미술 작품 속에 담긴 수학의 의미를 알
아본다.아본다.
• 준비학습에서 제시한 문제 외에 선생님이
[ 쌓기나무 ][ 쌓기나무 ] [ 정다면체 ] [ 정다면체 ] [ 평행선과 비 ] [ 평행선과 비 ]
다음은
다음은 쌓기나무 두 개로 만든 그림이다. 색칠한 부분에 쌓기 쌓기나무 두 개로 만든 그림이다. 색칠한 부분에 쌓기
정다면체에 대하여 다음 표를 완성하여
나
나무 하나를 더 붙여 본 그림을 그려 보아라. 무 하나를 더 붙여 본 그림을 그려 보아라. 1 1 다음 쌓기나무를 위, 앞, 옆에서 보았을 때, 각각의 모양을 아다음 쌓기나무를 위, 앞, 옆에서 보았을 때, 각각의 모양을 아 2 2 정다면체에 대하여 다음 표를 완성하여라.라. 3 3 다음 그림에서 세 직선 l, m, n이 서로 평행일 다음 그림에서 세 직선 l, m, n이 서로 평행일 학생들에게 가르칠 수 있도록 추가적으로
래 모눈에 그려
때
래 모눈에 그려라.라. 때, x의 값을 구하여라., x의 값을 구하여라.
정사면체 정육면체 정팔면체 정십이면체 정이십면체정사면체 정육면체 정팔면체 정십이면체 정이십면체
위 위 위 l l
정오
한 면의 모양한 면의 모양 정 정삼각형삼각형 정사각형정사각형 정삼각형정삼각형 정오각형각형 m m 4 cm4 cm 6 cm 6 cm 별도 문항 제시
10
10 cm cm x cm x cm
옆 옆 옆
한 꼭짓점에 한 꼭짓점에 n n
모인 면의 개수모인 면의 개수 3 3 3 3 4 4 3 3
앞 앞 앞 4 4::((1010--44)=)=66::xx
준 비 학 습준 비 학 습 4 4x=x=3636 ∴ ∴ x=x=99
이전에 배운 것을 이전에 배운 것을
다시 한 번 다시 한 번 위 위 위 앞 앞 앞 옆 옆 옆 개념정리개념정리 개념정리개념정리
생각해 볼까?생각해 볼까? 정다면체정다면체 평행선 사이에 있는 선분의 길이의 비 평행선 사이에 있는 선분의 길이의 비
아래 그림에서 l//m//n이면 a : b=a' : b'l//m//n이면 a : b=a' : b'
아래 그림에서
개념정리개념정리
각 면이 모두 합동인 정다각형이고, 각 꼭짓점에 모인 면의 각 면이 모두 합동인 정다각형이고, 각 꼭짓점에 모인 면의
5개의 쌓기나무로 모양을 만들었다.5개의 쌓기나무로 모양을 만들었다. 개수가 같은 다면체개수가 같은 다면체 l l
쌓기나무로 도형을 관찰하는 기본적인 문제이다.쌓기나무로 도형을 관찰하는 기본적인 문제이다. a a a' a'
m m
b b b' b'
n n
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1 도형의 관찰 소실점 평면도형과 입체도형의 관찰 탐구 2 오른쪽 그림은 프랑스의 인상파 화가인 구스타프 카
1
문제
유보트가 1876년에 그린 〈유럽의 다리〉라는 작품이
생활 속 수학이야기 평면도형과 입체도형의 모양은 관찰하는 시각에 따라 다르게 보일 수 있음을 이해한다. 다. 이 그림에서 소실점을 찾아보아라.
점점 멀어지면 사라진다?
평행선의 두 선은 시야에서 선의 두 선은 시야에서 오른쪽 그림과 같이 멀리까지 쭉 뻗어 나가는 철로가 있 중단원 열기와 소단원 학습
평행
점점 멀어질수록 우리의 시점 멀어질수록 우리의 시 다. 이 철로가 시야에서 점점 멀어질수록 철로의 폭은
점
야
야가 끝나는 수평선에서 가 끝 도형의 관찰 하나는 수평선에서 하
핵심 탐구 미술 작품 속에 수학이 담겨 있다. 나 나의 점으로 만나게 된다. 의 점으로 만나게 된다. 어떻게 보이는가?
이 이러한 시각적 현상은 아래 러한 시각적 현상은 아래
그림 그림과 같이 길게 뻗어 나과 같이 길게 뻗어 나
모형 자동차는 어린 시절에 재미있게 만 가는 생활 속 수학이야기 시선이 이동함에 따라 보이는 물체의 형태도 변할까? 위 탐구 3 다음 그림은 어느 도시의 인도를 찍은 사진이다. 이 사진에서 소실점을 찾아보아라.
가는 철로나 도로 등에서 철로나 도로 등에서
지고 놀던 장난감이다. 이 자동차를 옆, 찾 찾을 수 있다.을 수 있다. 오른쪽 그림과 같이 책상 위에 정사각형과 원 모양의 종 문제
앞, 위 등 다양한 방향에서 보면 자동차
이가 있다. 이 종이를 위에서 바라볼 때와 옆에서 바라 • 핵심 탐구에 대한 보충 설명을 다양한 사진
의 형태를 더 잘 파악할 수 있다. 또, 다 볼 때 두 도형의 모양은 어떻게 달라 보이는가? 옆
양한 위치에서 그린 자동차의 그림은 자 한 평면 위에 놓인 두 직선이 서로 만나지 않거나, 직육면체의 두 밑면과 같이 계
동차의 생김새를 직접 보지 않아도 파악 소실(消失)은 사라져 없어진다
는 뜻이다. 속 늘여도 만나지 않는 두 평면을 서로 평행이라고 한다. 자료와 함께 추가로 제시
할 수 있게 한다.
소
소실점은 그림이나 설계도 등에서 실점은 그림이나 설계도 등에서 그러나 곧게 뻗은 기차 철로나 활주로처럼 평행인 길이
물체의 연장선을 그었을 때 선과 선체의 연장선을 그었을 때 선과 선
물
도형의 아름다움은 수많은 사물들에서 찾아볼 수 있다. 도자기의 곡선이나 피겨 스 이 만나는 점으로 소실점을 알게 되만나는 점으로 소실점을 알게 되 계속 뻗어 갈수록 길의 폭은 점점 좁아져 결국 만나는 것
이
면
우리는 어떤 사물을 바라볼 때 정면이나 측면 등 다양한 시각에서 보게 된다.
면 공간의 입체감 파악이 용이하다.공간의 입체감 파악이 용이하다. 처럼 보이듯이 평행선을 한없이 연장하면 우리 눈에는 만 • 핵심 질문에 대한 예상 답변을 제시
케이팅 선수들이 지나가면서 그려 놓은 얼음 위의 곡선이나 의복의 선 등이다. 다른 시각에서 바라본 사물의 형태를 그림으로 그리면 서로 다른 모양이 된다.
또한 음악에서의 화음의 아름다움, 건축물의 기하학적인 아름다움, 조각상의 자연스 나는 것처럼 보인다. 소실점의 개수 소실점은 대개 1개이지만 2개 이상 있는 경우도 있다.
러운 아름다움, 미술 작품 속에서의 비율과 조화, 자연 현상에서 느끼는 반복의 미들 위의 생활 속 수학이야기 에서 두 도형을 위에서 바라보면 정사각형 이제 소실점의 개수에 따라 정육면체를 그리는 방법을 알아보자.
소실점의 위치 이와 같이 실제로는 평행인 두 직선을 원
과 원으로 보이지만 옆에서 바라보면 사다리꼴과 타원 모양으로 보
도 있다. (1) 길게 뻗은 직선 도로에서 • 생활 속 수학이야기에 대하여 보충적으로
는 도로의 폭이 점점 좁아 근법에 의해 평행이 아니도록 그릴 때, 두 소실점
이게 된다.
이런 아름다움들의 공통점들을 찾아내어 수학적으로 설명하는 것은 의 져 만나는 점이다. 직선은 멀리 한 점에서 만난다. 소실점을 1개로 하여 정육면체를 그리는 방법은 다음과 같다.
(2) 풍경화에서는 화폭 안의
(1) [그림 3]과 같이 정사각형을 그린 후 정사각형 밖에 한 점(소실점)을 잡는다.
미있는 일이 될 것이다. 사물들을 이루는 선의 연 이 점을 소실점이라고 한다. 지평선 옆에서 볼 때 설명할 내용을 본문의 빈 곳에 추가적으로
평면도형뿐만 아니라 입체도형도 바라보는 눈의 위치에 따라 그
장선이 만나는 점이다. (2) [그림 4]와 같이 정사각형의 각 꼭짓점과 소실점을 잇는 직선을 긋는다.
모습이 달리 보이게 된다.
(3) [그림 5]와 같이 선분을 그어 정육면체를 완성한다.
보충 설명
피 피보나치 수열은 경이롭게도 식물 줄기에 나는 잎의 배열에서부터 꽃보나치 수열은 경이롭게도 식물 줄기에 나는 잎의 배열에서부터 꽃 풀이 풀이 소실점과 극한값소실점과 극한값 제시
예를 들어 직육면체에서 한 면을 정면에서 바라볼 때는 [그림 1]과 같이 한 면만
잎들의 패턴, 솔방울 포엽, 파인애플 껍질, 꿀벌의 가계도 등 자연의 들의 패턴, 솔방울 포엽, 파인애플 껍질, 꿀벌의 가계도 등 자연의 무한수열 수열 {a{a ˜˜ }}은 은 11, , ;;22!;!;, , ;;33!;!;, , ;;44!;!;, , yy, , 11 , , yy는 는 nn이 한없이 커짐에 따라 일반항 이 한없이 커짐에 따라 일반항 aa ˜˜ 의 값은 한없이 의 값은 한없이 00에 가까워진다. 에 가까워진다.
n n
무한
잎
보이고, 한 모서리를 정면에서 바라보면 [그림 2]와 같이 두 면이 보이게 된다. 또
도 도처에서 나타난다. 가령 단세포, 밀알, 벌집 그리고 인류까지를 포함처에서 나타난다. 가령 단세포, 밀알, 벌집 그리고 인류까지를 포함 따라 따라서 서 limlimaa ˜˜ ==00이다.이다.
n n →∞→∞
하는
하는 모든 생물의 성장에서 피보나치 수열의 패턴을 발견할 수 있으모든 생물의 성장에서 피보나치 수열의 패턴을 발견할 수 있으 한, 한 모서리를 좀 더 위쪽 방향에서 바라볼 때는 [그림 3]과 같이 세 면이 보이게
며
며 이는 일종의 자연의 번호 체계 또는 자연의 법칙이라 할 수 있겠 이는 일종의 자연의 번호 체계 또는 자연의 법칙이라 할 수 있겠
다
다. 다음 사진에서 자연에서 흔히 발견되는 꽃잎들의 수가 피보나치 . 다음 사진에서 자연에서 흔히 발견되는 꽃잎들의 수가 피보나치 된다.
수열 수열 11, , 33, , 55, , 88, , 1313, , 2121, , 3333을 따르는 것을 볼 수 있다. 물론 식물들을 따르는 것을 볼 수 있다. 물론 식물들 생각의 소실점과 반비례 함수 • 텀구 문제에 대한 정답 및 해설을 교사용 글
[그림3]
이 이 피보나치 수열이란 수학을 알고 있어서가 아니라. 단지 물리적 제 피보나치 수열이란 수학을 알고 있어서가 아니라. 단지 물리적 제 창 [그림 3] [그림4] [그림5]
[그림 4]
[그림 5]
약에 약에 따라 자신에게 가장 효율적으로 자란 것뿐이다. 따라 자신에게 가장 효율적으로 자란 것뿐이다.
원근법에서 물체의 거리와 화폭에서의 길이 사이에 반비례 관계가 있으므로 y
원근법과 밀접한 소실점도 반비례함수의 그래프와 연관지어 설명할 수 있다. 1 자로 제시
정면
함수 y=;x!;에서 x의 값이 1, 2, 3 y으로 커짐에 따라 ;x!;의 값은 1, ;2!;, ;3!;y 1 - 2 탐구 4 아래 왼쪽 그림의 삼각기둥을 소실점을 1개로 하여 그리려고 한다. 오른쪽 그림을 완성하
[그림 1] 1 - 3 [그림 2] [그림 3] 문제
으로 작아져 오른쪽 그래프와 같이 점점 0에 가까워진다. 따라서 x축을 ‘시점 여라.
핵심 질문 도형이나 사물은 바라보는 시각에 따라 다르게 보이는가? 과 물체의 거리’, y축을 ‘화폭에서의 길이’로 생각한다면 원근법으로 그린 그림 O 1 2 3 4 5 6 7 x 소실점
이와 같이 어떤 사물을 바라볼 때 바라보는 시각에 따라 보이는 면의 개수가 달
에서의 소실점과 ;x!;의 값은 유사한 의미를 갖는다.
풀이 풀이 오른쪽 그림과 같은 원기둥을 여러 시각에서 바라보게 되면 다른 모양으로 보이게 된다.오른쪽 그림과 같은 원기둥을 여러 시각에서 바라보게 되면 다른 모양으로 보이게 된다. 라진다. 그 이유는 우리가 바라볼 수 있는 시각의 한계 때문이다.
예 예를 들어 위에서 바라본 모양은 원, 앞과 옆에서 바라본 모양은 직사각형처럼 보인다. 를 들어 위에서 바라본 모양은 원, 앞과 옆에서 바라본 모양은 직사각형처럼 보인다.
50 Ⅱ. 공간 56 Ⅱ. 공간 1. 도형의 관찰 51 1. 도형의 관찰 57
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중단원 마무리
[2] 이 왜상의 원리를 이용하여 화면에 직사각형 모양이 나타나게 하려면 바닥 면 수학 반사왜상
에 어떤 도형을 그려야 하는지 알아보자. 산책
직사각형의 변 중에서 시야에서 먼 쪽에 있는 변 CD의 길이가 원근법에 의 왜곡된 그림을 바닥에 펼쳐 놓은 후 원기둥 모양의 거울을 정해진 위치에 놓으면
활동과 중단원 마무리
하여 실제보다 짧게 보이므로 변 CD를 변 AB보다 좀 더 길게 그리면 화면 상 거울에 바닥의 그림이 비쳐 제대로 된 형상을 볼 수 있게 된다. 이런 왜상을 반사왜 1 다음 입체도형을 화살표 방향에서 보았을 때의 정면도, 평면도, 우측면도를 그려라. 4 부채꼴 모양의 모눈에 다음 그림과 같이 색을 칠했다. 그리고 원 위에 원기둥 거울을 올려놓았을
에서는 직사각형으로 보이게 된다. 상이라고 한다. 때, 거울에 비친 그림을 오른쪽 모눈에 그려 보아라.
즉, 축구경기장 바닥 면에 광고판을 사다리꼴 모양으로 그리면 화면에는 세 거울의 형태는 원기둥형, 원뿔형, 피라미드형 등이 있다.
아래 그림은 흔히 볼 수 있는
도로 위의 글자이다. 그런데 이 워진 직사각형 모양으로 보이게 된다. 거울 위치
평면도
평면도
글자는 자동차 운전석에서 내 반사왜상의 원리는 아래 부채꼴 모양의 모눈종이에 그린 그림을 원기둥형 거울에 평면도
평면도
평면도
려다 보면 마치 글자가 세워져 시점
있는 것처럼 보인다. 비추어 보면 오른쪽 직사각형 모눈종이와 같이 보이는 것이다. 부채꼴 모양의 모눈
종이 위에 그린 선분 AB는 반사왜상에 의해 직사각형 모눈종이 위 선분 A'B'으로
정면
우측면도
우측면도
우측면도
우측면도
정면도
정면도
정면도
정면도
비추어지게 된다. 정면도 우측면도 • 수학 산책, 공학적 도구의 활용, 프로젝트 학
C
B
D A 습 등에 대한 보충 설명을 별도의 부록으로
거울
A 2 오른쪽 그림의 두 지점 A, B에서 가로수 길의 폭을 재어
탐구 7 오른쪽 그림과 같이 시점에서 바닥 면을 바라볼 B B' 보니 각각 16 cm, 8 cm이었다. 화가로부터 A 지점에 5
제시교훈을 액자에 넣어 교실 벽에 걸려고 한다. 액자를 황금 사각형으로 제작하고자
문제 때, 바닥에 수직인 화면에 문자 ‘ㄱ’을 보이게 하려 시점 대응하는 실제 위치까지의 거리를 10 m라고 할 때, 화가 8 cm B 중훈이는 학교
할 때, 가로의 길이가 40 cm이면 세로의 길이는 몇 cm로 해야 하는가? (단, 액자의 가로의 길이
고 한다. 바닥 면에 적당한 모양을 그려라. 로부터 B 지점에 대응하는 실제 위치까지의 거리를 구하 는 세로의 길이보다 길고, 소수 둘째 자리에서 반올림한다.)
여라. (단, 가로수 길의 실제 폭은 일정하다.) A • 중단원 마무리 문제에 대한 정답 및 해설을
A' 16 cm
6 피타고라스학파는 황금비를 이용하여 자신들의 상징인 정오각형 안에 A
풀이
풀이 두 지점 두 지점 AA, , BB에서 가로수 길의 폭이 각각 에서 가로수 길의 폭이 각각 1616cmcm, , 88cmcm이므로 이므로 1616::88==22::11 별을 그려 넣었다. 다음은 ‘정오각형 안에 같은 꼭짓점을 지나지 않는
P
따 따라서 화가로부터 라서 화가로부터 AA지점까지의 실제 거리가 지점까지의 실제 거리가 1010 mm이고, 화가로부터 이고, 화가로부터 BB지점까지의 실제 거리는 길의 폭에 반비례지점까지의 실제 거리는 길의 폭에 반비례 상세히 제시하고 부록편에 추가 문항 제시
B
E
하므
하므로 로 2020 mm이다.이다. 두 개의 대각선을 그릴 때, 두 대각선은 서로 다른 것을 황금비로 나눈
부채꼴 모양의 모눈을 이용하여 각각 8개의 영역으로 나눈 다음 그림과 같이 색을 칠했다. 그리고 아래 반원 위 다.’를 설명하는 과정이다. 빈칸을 채워라.
생각의 왜상을 이용한 미술 작품 에 원기둥 거울을 올려놓으면 거울에 비친 그림은 오른쪽과 같이 보인다. (원기둥 거울 대신 종이 거울을 둥글게
창 말아서 사용해도 된다.) 대각선 BE’에서 BP’=1, PE’=x라 하면 C D
오른쪽 그림은 1533년 독일 화가 한스 홀바인이 그린 「대사들」이다. 3 아래 왼쪽 그림의 입체도형을 소실점을 1개로 하여 오른쪽 그림을 완성하여라. BP’=AP’=1, EP’=CP’=EA’=x이다.
이 그림의 아랫부분에 있는 형체가 분명하지 않은 길쭉한 모양은 특 거울 위치 △EAP와 △CEA가 x
정 각도에서 비스듬하게 바라보면 해골로 보이게 된다. 즉, 화면이 소실점 닮음꼴이므로 1
거의 안 보일 만큼 오른쪽 가장자리에 바짝 붙어 해골 쪽을 내려다보 EA’‥AP’=CA’‥EA’에서 B P E
면 해골이 제 모습으로 보인다. 이 지점을 빼고는 어디서도 제대로
AP’_CA’=EA ’ €
된 해골의 이미지를 볼 수 없다. 반대로 이 지 1_( )=x€, x€--1=0
점에서는 나머지 사물이 다 일그러진 형태로 이차방정식의 근의 공식에 의하여 x= 1-"∂
보인다. 2
소실점
이 그림은 왜상을 이용한 대표적인 미술 작품 x>0이므로 x= 1+"∂ 이다.
풀이
중 하나이다. 인터넷 검색을 통하여 왜상을 8 7 풀이 정면에서 바라본 그림의 각 꼭짓점과 소실점을 잇는 선분을 긋는다.정면에서 바라본 그림의 각 꼭짓점과 소실점을 잇는 선분을 긋는다. 2
직
직선 위 적당한 위치에 평행선을 그어 입체도형을 완성하면 그림과 같다.선 위 적당한 위치에 평행선을 그어 입체도형을 완성하면 그림과 같다.
이용하여 그려진 미술 작품들을 찾아보아라. 6 5 (5, F) 따라서 BP’‥PE’=1‥ 1+"∂ 2
4 왼 왼쪽 그림에서 부채꼴 모양의 모눈의 가로 칸에는 쪽 그림에서 부채꼴 모양의 모눈의 가로 칸에는 11부터 부터 88까지 , 세로 까지 , 세로
3 칸에는 에는 AA부터 부터 HH까지를 써 넣은 다음 모눈의 각 칸을 순서쌍으로 나까지를 써 넣은 다음 모눈의 각 칸을 순서쌍으로 나
칸
2 1 타 타낸다. 예를 들어 가로 칸의 낸다. 예를 들어 가로 칸의 55와, 세로 칸의 와, 세로 칸의 FF가 만나는 칸을 가 만나는 칸을 ((55 , ,
60 Ⅱ. 공간 A B C D E F G H F F))으로 정한다. 으로 정한다. 1. 도형의 관찰 61 68 Ⅱ. 공간 1. 도형의 관찰 69
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